两个造假币的不小心造出了 33
元的钞票却又不想浪费,他们决定拿到偏远山区花掉。当他们用 33
元的假币买了一串 1 元的糖葫芦后,他们哭了:农民伯伯找给他们两张 16 元!

当然,这只是一个段子。加拿大滑铁卢大学计算机系研究员 Jeffrey Shallit
也很喜欢这个段子,并且他认为,从理论上讲钞票就应该有 16 元和 33 元的。

16元的纸币最方便

以人民币为例,纸币面值在 100 元以下的一共有 1 元、5 元、 10 元、 20 元、
50 元五种。 Jeffrey 认为这 5
种纸币面额数值的组合并不是最科学的,而应该是 1 元、 5 元、 16 元、 23
元、 33 元这五种。

平时我们去超市买东西,每次使用 100 元以下数额的钱( 1 元到 99
元),需要用 1 元、 5 元、 10 元、 20 元、 50
元五种面额的钱币组合而成,有的时候需要一张,有的时候需要两张或者更多。比如你需要
31 元的零钱,可以用三张 10 元的和一张 1 元,也可以用一张 10 元、一张 20
元和一张 1 元,前一种需要四张纸币,后一种需要三张。在组成 31
元的所有可能方案中, 10+20+1 是最佳的,它最节省钞票张数,也就是说,凑成
31 元最少也需要三张纸币。

我们可以对从 1 到 99
之间的每个数额分别算出来它最少需要的纸币张数,这不难通过编程实现。这样一来就能知道使用这五种面额的人民币组成
99 个数额,在最“环保”的组合方式下,平均需要多少张钞票。

接下来, Jeffrey
在电脑上把参数修改了一下,五种纸币的面额更改为各种其他数值,让电脑程序运行,看一看哪一种货币面额体系在组成99个数额的时候平均最方便、需要的纸币张数最少。最终结果就是前面说过的,
1-5-16-23-33 方案击败了我们现实生活中使用的 1-5-10-20-50
方案,也击败了其他各种方案,组成 99 个数额平均只需要最少的3.29张。

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Jeffrey的货币最佳发行方案。

值得一提的是,这个研究结果不仅适用于人民币。比如目前美国的流通的硬币主要有
1 美分、 5 美分、 10 美分和 25 美分四种,可是根据 Jeffery
的结果,要想最方便的凑齐 1 美分到 99 美分一共 99 个数额,美联储应该发行
18 美分而不是 10 美分的硬币。

在加拿大,实际流通中的硬币有 6 种: 1 分、 5 分、 10 分、 25 分、100
分和 200 分,而最小的纸币面额是 5 加元。这 6 种硬币的“艰巨任务”是组成 1
到499 的数字。 Jeffery 计算出平均每笔交易会用到 5.9
枚硬币,不过他建议在这个体系中加入一枚面值为 83
分的硬币,这个数值就会降为 4.578 枚。他和他的学生甚至还给 83
分的假想硬币设计了正面和背面图案。不过 Jeffery 的论文在 2003
年就发表了,但到现在 83 分的硬币还没问世。

二进制的面值也好用

当然,最佳货币面额的计算方法也并非完美无瑕,一个漏洞就是 Jeffery
计算平均需要的张数的时候假定 1 到 99
个数额我们平时使用的频率是一样的,可现实交易中往往小的数额出现的机会更大,如果考虑这个因素,恐怕“最佳面额”结果就会有所改变。

另一方面,不只 Jeffery
一个人琢磨过这个问题,有人模仿信息编码方式设计出一套很酷很潇洒的货币面额方案。若纸币面额是按照二进制设置的,1元、2元、4元、8元、16元、32元、64元,虽然未必保证每次付款的时候使用的张数最少,但是神奇之处在于,每次出门的时候只要带齐一套,每样一张,就可以组成1到127的任意数额。

不仅如此,如果考虑了找钱的情况之后,三进制,也就是面值分别为 1 元、 3 元
、9元、27元、 81
元……也可以实现“每样一张,找零无忧”的效果,不信你可以随便选个数字试一下。比如你想付款
20 元,需要做的是给收银员一张 27 元、一张 3 元的,收银员找给你一张 1
元的,一张 9
元的,整个交易过程中每张也只出现了一次,唯一的麻烦是三进制的钞票计算起来有点费脑筋。

实际使用不容易

计算机人士提出各种数学游戏式的货币发行方案尽管看起来很酷,真正被掌管货币发行的金融高富帅们采纳的却极少。事实上,银行在考虑发行哪些数额的纸币的时候主要考虑的就是两个实际因素。第一个是货币面额要考虑人们日常的十进制算术习惯,如果又是最优组合,又是二进制、三进制,数学不好的人士必将苦不堪言,街边买菜的大妈恐怕买次东西算钱也要算上几分钟,
5 元、 10 元、 20
元的面额在数学上未必是最佳的,但是起码算数的时候最方便。第二个因素是尽量少发行一些面额种类,如果面值种类很多,尽管组成任意数额都不会出现一大把钞票的情形,但是银行不便于管理,使用者可能自己都搞不清楚到底有哪些面额了。

要说世界上发行钞票面值种类最多的地方当属几年前的非洲国家津巴布韦了。当时津巴布韦国家经济出现了崩溃,恶性通货膨胀愈演愈烈,银行也在滥发纸币。哈佛大学举办的以“乍看之下令人发笑,之后发人深省”为宗旨的搞笑诺贝尔奖
2008
年的数学奖就授予了津巴布韦国家储备银行行长的戈诺,颁奖理由是他居然下令印刷了1分(0.01元)至100万亿面值的钞票,大幅提高了本国国民的数学能力。

现实中的货币面额大多是按照习惯和经验而已,背后并没有涉及到很多数学知识,世界上各国的货币不外乎都是1、2、5、10这类面额,本文有些异想天开的方案恐怕只能停留在数学爱好者自己想象的世界中了。

本文编辑:吴师傅


参考资料:

[1] What This Country Needs is an 18 Piece; Jeffrey Shallit

[vnsr威尼斯城官网登入,2] Optimal Denominations for Coins and Bank Notes: In Defense of the
Principle of Least Effort; Leo Van Hove

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